Rectifiability of the Distributional Jacobian for a Class of Functions

We de ne the class B2V of functions of bounded 2-dimensional variation, and we sketch the proof of a theorem showing that, for u 2 B2V (R;S), the distributional Jacobian of u is supported on a 1-dimensional recti able set. Recti abilit e du mesure Jacobienne pour une classe de fonctions Version fran caise abr eg ee| Dans cette Note, nous introduisons la classe des fonctions B2V , ou fonctions a variation born ee a deux dimensions. Ce sont des fonctions pour lesquelles tous les determinants 2 2 sont des mesures.En tant que telles, ce sont les exemples les plus simple d'une famille de g en eralisations de BV fonctions. Nous esquissons egalement la preuve d'un th eor eme montrant que, pour une fonction u 2 B2V (R ;R) telle que juj = 1 p.p., la mesure Jacobienne | c'esta-dire la collection de tous les d eterminants 2 2 | est un emsemble recti able a une dimension. Cela g en eralise un th eor eme fondamental de De Giorgi des ann ees 1950. Une th eorie plus g en erale des fonctions a variation born ee a n dimensions, o u n est un entier quelconque positif, est develop ee plus en detail dans un article ecrit par les auteurs [11]. Cet article comprend en particulier les preuves compl etes des r esultats esquiss es ici, ainsi que d'autres r esultats tels que une version g en erale de la formule de coarea. notation et d e nitions Soit H la mesure de Hausdor a une dimension. Pour des vecteurs v; w 2 R noes d e nissons v w := vw vw . Nous d e nissons r := (@x2 ; @x1 ) pour une fonction scalaire : R 2 ! R, et r := @x1 2 @x2 1 pour une fonction a valeurs vectorielles = ( ; ) : R ! R . Supposons que u 2 W 1;1 loc \ L 1 loc(R m ;R), pour m = 2 ou 3. Nous d e nissons j(u) = u Du = (det(u; @x1u); : : : ; det(u; @xmu)) : Nous d e nissons egalement le Jacobien [Ju] := 1 2 r j(u) au sens des distributions. On peut facilement v eri er que si u 2 H loc(R 2 ;R), alors [Ju] = detDu, et si u 2 H loc(R 3 ;R), alors [Ju] = (det(@x2u; @x3u); det(@x3u; @x1u); det(@x1u; @x2u)). On dit qu'une fonction u 2 W 1;1 loc \ L (R ;R) a 2-variation born ee s'il existe une constant C telle que h ; [Ju]i Ck kL1 pour tout 2 C 1 c (R m ;R ). Pour une telle fonction, on ecrira u 2 B2V (R ;R). On notera u 2 B2V (R ;S) pour u 2 B2V (R ;R) avec juj = 1 presque partout. Si u 2 B2V (R ;R), le th eor eme de r epresentation de Riesz a rme qu'il existe une mesure de Radon non n egative sur R , que nous appelons la mesure de 2-variation totale de u et que nous notons kJuk, et une fonction mesurable a valeurs dans R 1)=2 telle que j (x)j = 1 pour kJuk presque tout x, et h ; [Ju]i = R (x) (x) kJuk(dx): Lorsque u 2 B2V nous ecrirons parfois R [Ju] au lieu de h ; [Ju]i. Dans [11] d emontrons Theorem 1. Si u 2 B2V (R ;S) alors il existe un nombre m > 0, des entiers fd1; : : : ; dmg et des points fa1; : : : ; amg tels que [Ju] = P i di ai . Date: March 25, 1999.